MACROECONOMÍA

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Considere el problema de elegir la senda de consumo y
activos:
‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎‎ ‎ ‎∞
{𝑐ₜ , 𝑎ₜ₊₁} ₜ₌₀ ,

para maximizar:

‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∞
𝐸₀ [ ⅀ 𝑢(𝑐ₜ) ]
‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 𝑡=0

sujeto a la restricción presupuestaria:

𝑐ₜ + 𝑎ₜ₊₁=𝑅ₜ 𝑎ₜ + 𝑦ₜ , y 𝑎ₜ ≥ 0 para todo 𝑡.

Dónde:

En dicho problema 𝐸ₜ[⋅] es la esperanza condicional en 𝑡, 0<𝛽<1, 𝑢(𝑐ₜ)=𝑙𝑛(𝑐ₜ).

Y además:

𝑅ₜ y 𝑦ₜ se distribuyen con media y varianza constante para todo 𝑡. En la senda óptima de consumo se debe cumplir que:This question is required.

(BCRP 2023)

𝑢′(𝑐ₜ) ≤ 𝛽𝐸ₜ[𝑅ₜ₊₁ 𝑢′(𝑐ₜ₊₁)], para todo 𝑡≥0.
𝑢′(𝑐ₜ) ＞𝛽𝐸ₜ[𝑅ₜ₊₁ 𝑢′(𝑐ₜ₊₁)], para todo 𝑡≥0.
𝑢′(𝑐ₜ) = 𝛽𝐸ₜ[𝑅ₜ₊₁ 𝑢′(𝑐ₜ₊₁)], para todo 𝑡≥0.
𝑢′(𝑐ₜ) ＜ 𝛽𝐸ₜ[𝑅ₜ₊₁ 𝑢′(𝑐ₜ₊₁)], para todo 𝑡≥0.
𝑢′(𝑐ₜ) ≥ 𝛽𝐸ₜ[𝑅ₜ₊₁ 𝑢′(𝑐ₜ₊₁)], para todo 𝑡≥0.